Diplom-Prüfung Physik
Nebenfach Mathematik

Funktionentheorie
Gewöhnliche DGL's und dynamische Systeme

Martin-I. Trappe

30. September 2005

 Funktionentheorie.pdf (596 KB)

Inhaltsverzeichnis

1	Grundlagen	4
2	Funktionentheorie	6

	2.1	Komplexe Zahlen	6
	2.2	Folgen und Reihen	6
	2.3	Analytische Funktionen	7
	2.4	Komplexe Integration	10
	2.5	Cauchysche Integralsätze	11
	2.6	Cauchysche Integralformeln	14
	2.7	Gleichmäßige Approximation	15
	2.8	Potenzreihen	16
	2.9	Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen	18
	2.10	Singularitäten	21
	2.11	Meromorphe Funktionen	24
	2.12	Residuensatz	26
	2.13	Anwendungen des Residuensatzes	27
	2.14	Die Gammafunktion	29
	2.15	Weierstraßprodukte	31
	2.16	Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler	33
	2.17	Der kleine Riemannsche Abbildungssatz	34
	2.18	Die Homotopieversion des Cauchyschen Integralsatzes	38
	2.19	Eine Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes	40
	2.20	Charakterisierungen von Elementargebieten	42

3

DGL's und dynamische Systeme

44

	3.1	Integrierende Faktoren (Lemma von Frobenius)	44
	3.2	Separation der Variablen, Variation der Konstanten	44
	3.3	Banachscher Fixpunktsatz	44
	3.4	Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf	45
	3.5	Lemma von Gronwall	47
	3.6	Faltung	47
	3.7	Existenzsatz von Peano	47
	3.8	Autonome Systeme	49
	3.9	Potenzreihenansätze	51
	3.10	Spezielle DGL's	52
	3.11	Lineare Systeme	53
	3.12	Homogene lineare Systeme	54
	3.13	Inhomogene lineare Systeme	55
	3.14	Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten	56
	3.15	Zwei-dimensionale reelle Systeme	58
	3.16	Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler	61
	3.17	Floquet-Theorie	62
	3.18	Lineare DGL's n-ter Ordnung	63
	3.19	Lyapunov-Stabilität	65
	3.20	Der Satz von Poincaré-Bendixson	70