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Diplom-Prüfung Physik
Nebenfach Mathematik

Funktionentheorie
Gewöhnliche DGL's und dynamische Systeme

Martin-I. Trappe

30. September 2005

 Funktionentheorie.pdf (596 KB)



Inhaltsverzeichnis

1

Grundlagen

4

2

Funktionentheorie

6

 2.1Komplexe Zahlen6
 2.2Folgen und Reihen6
 2.3Analytische Funktionen7
 2.4Komplexe Integration10
 2.5Cauchysche Integralsätze11
 2.6Cauchysche Integralformeln14
 2.7Gleichmäßige Approximation15
 2.8Potenzreihen16
 2.9Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen18
 2.10Singularitäten21
 2.11Meromorphe Funktionen24
 2.12Residuensatz26
 2.13Anwendungen des Residuensatzes27
 2.14Die Gammafunktion29
 2.15Weierstraßprodukte31
 2.16Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler33
 2.17Der kleine Riemannsche Abbildungssatz34
 2.18Die Homotopieversion des Cauchyschen Integralsatzes38
 2.19Eine Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes40
 2.20Charakterisierungen von Elementargebieten42

3

DGL's und dynamische Systeme

44

 3.1Integrierende Faktoren (Lemma von Frobenius)44
 3.2Separation der Variablen, Variation der Konstanten44
 3.3Banachscher Fixpunktsatz44
 3.4Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf45
 3.5Lemma von Gronwall47
 3.6Faltung47
 3.7Existenzsatz von Peano47
 3.8Autonome Systeme49
 3.9Potenzreihenansätze51
 3.10Spezielle DGL's52
 3.11Lineare Systeme53
 3.12Homogene lineare Systeme54
 3.13Inhomogene lineare Systeme55
 3.14Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten56
 3.15Zwei-dimensionale reelle Systeme58
 3.16Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler61
 3.17Floquet-Theorie62
 3.18Lineare DGL's n-ter Ordnung63
 3.19Lyapunov-Stabilität65
 3.20Der Satz von Poincaré-Bendixson70


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